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名校大联考2022~2023学年度高三第五次联考数学试卷答案
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12．已知函数f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；
（1）求m的值；
（2）用单调性定义证明：函数f（x）在（-∞，1）上为增函数．
分析（1）椭圆9x2+4y2=36化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，设与椭圆有共同焦点的椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{5+k}+\frac{{x}^{2}}{k}$=1（k＞0），把点（2，-3）代入解出即可得出．
（2）设焦点在x轴上时椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），把点$（2，-\sqrt{2}）$和点$（-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}）$代入，解得a2，b2，可得它的标准方程．同理可得焦点在y轴上时椭圆的标准方程．
解答解：（1）椭圆9x2+4y2=36化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，设与椭圆有共同焦点的椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{5+k}+\frac{{x}^{2}}{k}$=1（k＞0），把点（2，-3）代入可得：$\frac{9}{5+k}+\frac{4}{k}$=1，解得k=10．
∴要求的椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{15}+\frac{{x}^{2}}{10}=1$．
（2）设焦点在x轴上时椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），把点$（2，-\sqrt{2}）$和点$（-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}）$代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{7}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a2=8，b2=4，可得它的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
同理可得焦点在y轴上时椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{10}+\frac{{x}^{2}}{5}$=1．
点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
