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2023年河北省初中毕业生结业文化课检测数学试卷答案

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5．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆的长轴端点分别为A₁，A₂，P为椭圆上任意一点，且△PA₁A₂面积的最大值为$\sqrt{2}$，则椭圆C的方程为（　　）

分析根据幂函数的对应仄函数f（x）的解析式，然后利用取对数法和构造法，构造等比数列，然后利用累加法进行求解，求出数列的通项公式即可得到结论．

解答解：∵幂函数f（x）=（m-1）x^a的图象过点（9，3），
∴m-1=1，即m=2，此时f（x）=x^a，
由f（9）=9^a=3得3^2a=3，
则2a=1，即a=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，
则a₁=$\frac{m}{2}$=$\frac{2}{2}$=1，a₂=m=2，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）=$\sqrt{\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}}$，
等式两边取对数lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=lg$\sqrt{\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{2}$lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
则$\frac{lg\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}{lg\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$=2，
则数列{lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$}是公比q=2的等比数列，
则lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1lg2，
则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=${2}^{{2}^{1}}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=${2}^{{2}^{2}}$，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
等式两边同时相乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$═${2}^{{2}^{1}}$•${2}^{{2}^{2}}$•…${2}^{{2}^{n-1}}$=${2}^{2+{2}^{2}+…{2}^{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}-1}$，
即a_n=${2}^{{2}^{n-1}-1}$，
a₁₀=${2}^{{2}^{9}-1}$=2⁵¹¹，
故选：D．

点评本题主要考查幂函数的性质以及数列通项公式的求解，利用取对数法和构造法，累加法是解决本题的关键．综合考查学生的运算能力．