智慧上进江西稳派2022-2023学年上学期江西省八校高二第一次联合考试数学试题答案 (更新中)

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试题答案

智慧上进江西稳派2022-2023学年上学期江西省八校高二第一次联合考试数学试卷答案

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7.在△ABC中|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|,AB=3,AC=4,则$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影是(  )

A.4B.3C.-4D.5

分析(Ⅰ)由△ABF2的周长为8求得a,然后结合${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$求得b点的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出N的坐标,利用两点间的距离公式得到|MN|关于N的纵坐标的函数,然后分类求出椭圆上动点N与M点距离的最大值.

解答解:(Ⅰ)如图,由△ABF2的周长为8,得4a=8,即a=2.
∴A1(-2,0),A2(2,0),
设P(x0,y0),则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$.
又${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$,得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=-\frac{1}{4}$,
即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$,∴b2=1.
则椭圆方程为:$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$;
(Ⅱ)设椭圆上N(x0,y0)(-1≤y0≤1),又M(0,m),
∴|MN|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+({y}_{0}-m)^{2}}$=$\sqrt{-3{{y}_{0}}^{2}-2m{y}_{0}+{m}^{2}+4}$
=$\sqrt{-3({y}_{0}+\frac{m}{3})^{2}+\frac{4{m}^{2}}{3}+4}$.
若$\frac{m}{3}>1$,即m>3时,则当y0=-1时,|MN|有最大值为m+1,
若0$<\frac{m}{3}≤1$,即0<m≤3时,则当${y}_{0}=-\frac{m}{3}$时,|MN|有最大值为$\sqrt{\frac{4{m}^{2}}{3}+4}$.

点评本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆方程的求法,训练了利用配方法求函数的最值,是中档题.

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