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2023届衡水金卷先享题·专项分组练 新高考 高考大题分组练 九数学试卷答案

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(3)研究发现,辣椒素能促进家兔产生胰岛素。为研究食用辣椒素是否只通过TRPV1发挥作用。请使用下列的实验条件简要写出实验设计思路并预期实验结果。实验条件:生理状态(含空腹血糖浓度)相同的健康家兔若干只,普通饲料,辣椒素,4一叔丁基环已醇(TR-PV1抑制剂,不影响血糖浓度),胰岛素定量检测仪。实验思路:。预期实验结果:。

分析令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，所以f（x）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，从而求函数的值域．

解答解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，t²=1+2sinxcosx，
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴f（x）=sinxcosx+sinx+cosx
=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
∴-1≤（t+1）²-1≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$；
即函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
故答案为[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

点评本题考查了换元法与配方法求函数的值域，属于基础题．