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2023新高考单科综合卷(六)数学试卷答案

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18.定量述液体培养基中微生物群体生长规律曲线,称为生长曲线。把少量纯种母接种到恒定脊积的液体培养基中,在适宜条件下进行培养,测得不同时段的种群密度,以细胞数目的对数值作纵坐标,以培养时间作横坐标得到如图所示生长曲线。下列有关叙述正确的是A.增加酵母菌的接种量会缩短阶段I的培养时间,使K值增大B.阶段Ⅱ中酵母菌的生长繁殖不受种内竞争的影响,呈J形增长C.阶段Ⅳ活菌数量下降,与培养液中代谢产物的积累、营养物质的消耗密切相关D.若以一定的流速连续注入新鲜培养基,流出原培养基,则阶段Ⅲ对应的种群密度将持续増加

分析求出A的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．

解答解：设切线方程为y=kx+1，切点坐标为（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a}}\\{ka+1=b}\\{lna=b}\end{array}\right.$，解得a=e²，b=2，∴A（e²，2）．
将y=0代入y=lnx得x=1，∴B（1，0）．
∴直线AB的方程为$\frac{y}{2}=\frac{x-1}{{e}^{2}-1}$，即y=$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$．
∴区域D的面积为${∫}_{1}^{{e}^{2}}lnxdx$-${∫}_{1}^{{e}^{2}}$（$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$）dx=（xlnx-x）${|}_{1}^{{e}^{2}}$-（$\frac{{x}^{2}-2x}{{e}^{2}-1}$）${|}_{1}^{{e}^{2}}$=2．
区域D绕x轴旋转一周所得几何体体积为π•${∫}_{1}^{{e}^{2}}（lnx）^{2}dx$-$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}×（{e}^{2}-1）$=π•x[（lnx）²-2lnx+2]|$\underset{\stackrel{{e}^{2}}{\;}}{1}$-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=（2e²-2）•π-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=$\frac{2π{（e}^{2}-1）}{3}$．

点评本题考查了定积分在求面积、体积中的应用，是中档题．