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箐师联盟2022-2023学年高三12月质量监测数学试卷答案

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(2)工业化生产腐乳或泡菜时添加的微生物都是经发酵工程筛选出的优良菌种。在液体培养基中加入可制成固体培养基,微生物在培养基表面或内部形成肉眼可见的,根据其(至少答出两点)等特征便可对微生物进行筛选。

分析（1）由数列递推式求出a₁，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a_n}为等比数列，则数列{a_n}的通项公式可求，再由b₁=3a₁，b₃=S₂+3求出数列{b_n}的首项和公差，则{b_n}的通项公式可求．
（2）c_n=$\frac{n+2}{（2n+1）（2n+3）•{3}^{n-1}}$，c₁=$\frac{1}{5}$，c₂=$\frac{4}{105}$，c₃=$\frac{5}{567}$，c₄=$\frac{2}{891}$，n≥5时，$\frac{n+2}{{3}^{n-1}}$≤$\frac{7}{81}$，c_n=＜$\frac{7}{162}$（$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$），由此能证明T_n＜$\frac{1}{4}$．

解答解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），①
∴当n=1时，2a₁=3a₁-1，解得a₁=1，
当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-1，②，
①-②，得：2a_n=3a_n-3a_n-1，n≥2，
∴a_n=3a_n-1，
∴{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴${a}_{n}={3}^{n-1}$．
∵等差数列{b_n}满足b₁=3a₁，b₃=S₂+3，
∴b₁=3a₁=3，b₃=S₂+3=1+3+3=3+2d，解得d=2，
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1．
证明：（2）∵c_n=$\frac{n+2}{{b}_{n}•{b}_{n+1}•{a}_{n}}$（n∈N^*），a_n=3^n-1，b_n=2n+1，
∴c_n=$\frac{n+2}{（2n+1）（2n+3）•{3}^{n-1}}$，c₁=$\frac{3}{3×5}$=$\frac{1}{5}$，${c}_{2}=\frac{4}{5×7×3}$=$\frac{4}{105}$，${c}_{3}=\frac{5}{7×9×9}$=$\frac{5}{567}$，c₄=$\frac{6}{9×11×27}$=$\frac{2}{891}$，
n≥5时，$\frac{n+2}{{3}^{n-1}}$≤$\frac{7}{81}$，c_n=$\frac{n+2}{（2n+1）（2n+3）•{3}^{n-1}}$＜$\frac{7}{81}$×$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{7}{162}$（$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$），
∴T_n＜$\frac{1}{5}+\frac{4}{105}$+$\frac{7}{162}$（$\frac{1}{11}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{5}+\frac{4}{105}+\frac{5}{567}$+$\frac{2}{891}$+$\frac{7}{162}$（$\frac{1}{11}-\frac{1}{2n+3}$）
＜$\frac{1}{5}+\frac{4}{105}+\frac{5}{567}$+$\frac{2}{891}$+$\frac{1}{1782}$
=$\frac{21805}{87318}$$＜\frac{1}{4}$．
∴T_n＜$\frac{1}{4}$．

点评本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题，解题量要注意放缩法的合理运用．